13.7 张量表示空间；可约性

从群G的某个特定表示出发，我们有多种途径来构建群G的更为精彩的表示。具体怎么做呢？假定G可表示为作用在n维矢量空间V上的某线性变换族T。这个V称为G的表示空间。G的元素t可通过T内相应的线性变换T来表示，这里T对任一个属于V的x作用为xTx。在（抽象）指标记法（§12.7）下，我们像在§13.3里做的那样，写成xaTabxb。图示记法表示则如图13.6（a）。现在就让我们从给定的V开始，看看还能找到G的别的什么表示空间。

第一个例子是§12.3里V的对偶空间V*。V*的元素定义为V到标量的线性映射。在指标记法（§12.7）下，我们可写出（V*里）y对V的元素x的作用yaxa。记号y·x以前（§12.3）一直用来表示这一点（y·x=yaxa），但现在我们可以用矩阵记号来表示：

yx=yaxa，

这里y取为行矢量（即1×n矩阵），x取为列矢量（n×1矩阵）。变换xTx现在可看作是矩阵变换。相应地，对偶空间V*经历线性变换

这里S是T的逆：

这是因为对于xTx，我们需要yyT－1来保证yx在下保持不变。

行矢量y的使用使我们有了一种非标准乘法序。另一种更为常用的书写形式是借助矩阵A的转置记号AT。矩阵AT的元素与A的相同，只是行与列进行了交换。如果A是方阵（n×n），则AT也是，其元素是A中各元素按对角线翻转了的结果（见§13.3）；如果A是长方形阵（m×n），则AT是n×m，其中元素相应地作位置对调。因此，yT是标准列矢量，我们可将yyS写成

这是因为转置运算T颠倒了乘法的顺序：（AB）T=BTAT。因此我们看到，表示空间V的对偶空间V*本身就是G的表示空间。注意，逆运算－1也是乘法倒序的，（AB）－1=B－1A－1，*〔13.37〕因此，表示所需的乘法序得以恢复。

上述这些考虑可应用到V所构造的张量的不同矢量空间上，见§12.8。我们知道，（矢量空间V上）价张量Q有如下指标描述

（其中p和q分别为上、下指标）。我们可将两个同价的张量相加，也可用标量乘以张量，价不变的张量构成维数为np+q（分量的总数目）的矢量空间。*〔13.38〕在抽象记法中，我们把Q视为属于张量积

V*⊗V*⊗…⊗V*⊗V⊗V⊗…⊗V

的矢量空间，它有q个相同的对偶空间V*和p个相同的V（p，q≥0）。（在§23.3节我们再详细解释“张量积”概念。）从§12.8节知，张量是作为多重线性函数来定义的。这已足以满足我们这里的需要（尽管在无穷维情形下还有些条件需要考虑，这在§23.8节的多粒子量子态应用上是必需的。）[15]

一旦线性变换xaTabxb应用于V，就会在上述张量积空间里导出相应的线性变换，其表达式为**〔13.39〕

这里指标较小，请看仔细。为了弄明白是什么与什么相加，我建议大家用图示记法，那样更清楚，如图13.13。我们看到，的每个下标，就像ya那样，由逆矩阵S=T－1（或由ST）来变换；每个上标则像xa那样，由T来变换。相应地，V上价张量的空间也是G的np+q维表示空间。

然而，这些表示空间都是那种所谓可约化的。我们仅以价张量Qab为例来说明这种性质。这种张量总可以剖分为对称部分Q（ab）和反对称部分Q［ab］（§12.7和§11.6）：

Qab=Q（ab）+Q［ab］

这里

对称空间V+的维数为n（n+1），反对称空间V－的维数为n（n－1）。**〔13.40〕不难看出，在变换xaTabxb下，我们有QabTacTbdQcd，其对称部分和反对称部分则分别变换到对称张量和反对张量。*〔13.41〕相应地，空间V+和V－分别是G的表示空间。选取V的基使前n（n+1）个基元素属于V+，而剩下的n（n－1）个属于V－，这样，我们就得到了由呈n2×n2个“对角块”形式的所有矩阵构成的表示：

这里A代表n（n+1）×n（n+1）阵，B代表n（n－1）×n（n－1）阵，两个O代表由零构成的相应长方形矩阵块。

这种形式的表示被用作A矩阵表示和B矩阵表示的直和。因此在这个意义上，关于价张量的表示是可约化的。**〔13.42〕“直和”的概念也可以扩展到较小的表示——数（可以是无穷）上。

事实上，“约化表示”有着更广泛的意义，其中之一就是基的选取，所有表示矩阵都可以更为复杂的形式

呈现出来，这里A是p×p矩阵，B是q×q矩阵，C是p×q矩阵，且p，q≥1（p，q皆为定值）。注意，如果表示矩阵全都以此形式出现，那么每一个A矩阵和B矩阵都单独构成G的（较小的）表示。*〔13.43〕如果C矩阵元素全为零，则我们回到前述情形，即这种表示是两个较小的表示的直和。如果某个表示不是可约化的（C可有可无），则称这种表示是不可约化的。如果我们在表示中从未出现过不可约化情形（此处要求C不为零），则称表示是完全约化的，这时它是不可约化表示的直和。

存在一类重要的连续群，叫半单群。这是一类已得到充分研究的群，它包括§13.2里的单群。紧半单群有一种十分可人的性质：它的所有表示都是完全可约化的。（“紧”的定义请见§12.6和图12.13）。这种性质可充分用于研究这样一种群的不可约化表示，其每个表示恰好是这些不可约化表示的直和。事实上，这种群的每个不可约化表示都是有限维的（但如果半单群不是紧致的，那么情况就不是这样，此时那些非完全可约化的表示也能够出现）。

什么是半单群呢？回想一下§13.6里的结构常数γα βχ，它规定了李括号并定义了群G的局部结构。还有一个相当重要的量，即所谓[16]“基灵形式”κ，它可用γα βχ来构建：*〔13.44〕

κα β=γα ζξγβ ξζ=κβ α

它的图示记法见图13.14。G成为半单群的条件是矩阵κα β是非奇异的。

对半单群的紧致条件有过不少评述。对一组给定的结构常数γα βχ，不妨假定它们全为实数，由这些结构常数生成的可以是实李代数，也可以是复李代数。在复数情形下，我们得不到紧群G，这只有在实数情形下才有可能。事实上，紧致性只可能出现在－κβ α是所谓正定的（其意义见§13.8）实数情形下。对固定的γα βχ，在实数群G情形下，我们总能够用同样的γα βχ构造出G的复化CG（至少是局部上），但对李代数则需有复系数。但不同的实群G往往会产生相同的[17]CG。这些不同的实数群被称为复数群的不同的实数形式。在以后的章节里我们将看到这种群的重要例子，特别是在§18.2，其中我们将进行四维欧几里得运动与狭义相对论下的洛伦兹/庞加莱对称性之间的比较。复半单李群有一种突出性质，即它只有一个紧的实数形式G。