13.10 辛群

从前两节里，我们了解了正交群和酉群。它们都是所谓典型群的例子，即单李群而非例外李群（§13.2）。所有典型群均属于辛群族。在经典物理学（正如我们将在§20.4里看到的）和量子物理学中，辛群，特别是无穷维辛群（§26.3），非常重要。

什么叫辛群呢？让我们再回到双线性型概念上来，但现在我们不取定义正交群所需的对称性（g（x，y）=g（y，x）），而是取反对称性

s（x，y）=－s（y，x），

加上线性性

s（x，y+w）=s（x，y）+s（x，w）， s（x，λ y）=λ s（x，y），

此处第一个变量x的线性性遵从反对称性；我们可将不同表述下的这种反对称型记为

s（x，y）=xasabyb=xTSy，

它与对称情形基本相同，只是这里sab取反对称的：

sba=－sab 即 ST=－S，

S是sab的分量矩阵，一般要求S是非奇异的，于是sab有逆sab，且满足[23]

这里sab=－sba。

我们注意到，与对称矩阵相比，反对称矩阵S等于其负的转置矩阵。切记，仅当n是偶数时，n×n的反对称矩阵S才是非奇异的。**〔13.56〕这里n是x和y所属空间V的维数，以后我们都将n取为偶数。

GL（n）的元素T保这种非奇异反对称度规sab（或等价说法，双线性型s），是指

sabTacTb d=scd，即TTST=S。

我们称这种T是辛的，由这些元素构成的群称为辛群（我们将在§20.4里看到，这是一种在经典力学相当重要的群）。但是，当我们在文献里遇到这个术语时可能还会有不清楚的地方。数学上我们把（实）辛群的严格定义为复辛群的实形式，这里Tab（或T）是满足上述关系的复数群。这么定义下的特殊实形式是非紧的，但根据§13.7末尾的叙述可知，是半单群，还存在这种复群的另一种紧致的实形式，我们通常所谓的（实）辛群指的正是这种紧实单群。

怎么才能找到这些不同的实形式呢？实际上，如同正交群情形一样，实辛群也存在符号差概念，只不过不像在正交群和酉群里那么出名罢了。保sab的实变换辛群的符号差是一种“剖分符号差”。对于紧实辛群，其符号差为（n，0）或（0，n）。

这些符号差是怎么定义的呢？对每一对满足p+q=n的自然数p，q，我们可通过取复群里的这样一些元素来定义其“实形式”：这些元素的符号差（p，q）也是伪酉群的符号差，即属于U（p，q）的（§13.9）。由此我们得到（伪）辛群Sp（p，q）。[24]（换一种说法，Sp（p，q）是与U（p，q）的交。）在指标记法下，Sp（p，q）可定义为复线性变换的群，它不但保上述的反对称度规sab，也保分量ha′b的埃尔米特矩阵H，即

这里H有符号差（p，q）（因此我们可找到一个伪规范正交基，使H的主对角线上有p个1和q个－1，见§13.9）。[25]紧致典型辛群就是这里的Sp（n，0）（或Sp（0，n）），但经典物理里最重要的形式是。***〔13.57〕

如同正交群和酉群下情形，我们可选取基底使分量sab有特别简单的形式。这种形式不是主对角型，因为仅有的反对称对角型矩阵是0。我们将sab的矩阵取为沿主对角线的2×2个矩阵子块，每个子块形为

对于熟悉的剖分符号差情形，我们可以取保这种形式的实线性变换。而一般情形Sp（p，q），通常是取符号差（p，q）的伪酉型变换，而不是实线性变换。***〔13.58〕

从具有相同的李代数（参见§13.6）这一点来说，对不同的（小）p和q值，某些正交群、酉群和辛群是相同的（“同构的”），或至少是局部相同（“局部同构”）的。[26]最基本的例子是SO（2）群，它描述圆的非镜向反射对称群，形式上与酉群U（1）同，U（1）是单位模复数eiθ（θ是实数）的乘积群。*〔13.59〕物理上看，这一点特别重要：SU（2）和Sp（1）相同，并且局部也与SO（3）相同（最后这个群的双覆盖性质与§11.3里描述的三维空间里转动的四元数表示的二重性质一致）。这对于自旋的量子物理非常重要（§22.8）。对相对论有重要意义的是，等同于Sp（1，C）的SL（2，C）局部等同于洛伦兹群O（1，3）的非镜向反射部分（也是它的双覆盖）。我们还发现，SU（1，1），Sp（1，1）和SO（2，1）相同，还有其他一些例子。对扭量理论特别值得指出的是，SU（2，2）与群O（2，4）中的非镜向反射部分在局部上是等同的（见§33.3）。

通过求矩阵方程

XTS+SX=0，即 S X=（S X）T,

的解X，我们可得到辛群的李代数。这样，无穷小变换（李代数元素）X即为S－1乘以n×n对称矩阵。由此可见，辛群的维数是n（n+1）。注意，X是无迹的（即迹X=0，见§13.4）。**〔13.60〕同样，依据反对称矩阵和埃尔米特矩阵的纯虚数部分，我们可分别获得正交群和酉群的李代数，二者的维数分别为n（n－1）和n2。***〔13.61〕

在§13.4里我们就提到，对于有单位行列式的变换，无穷小元素X的迹为0，这一点在辛群上自动满足，在正交群情形下，所有无穷小元素都有单位行列式。**〔13.62〕在酉群情形下，限定到SU（n）是所需的进一步条件（迹X=0），故群的维数减为n2－1。

§13.2里所指的典型群有时标以Am，Bm，Cm，Dm（m=1，2，3，…），它们分别简称为SU（m+1），SO（2m+1），Sp（m）和SO（2m），即我们在§§13.8，10里研究过的群。从上述讨论可知，它们如§13.2里所说的那样，分别有维数m（m+2），（2m+1），m（2m+1）和m（2m－1）。因此，读者现在可一览所有典型单群。正如我们已经看到的，这些群，包括它们的某些不同（复化）的“实形式”，在物理上有着非常重要的作用。下一章我们将进一步熟悉这些群，正如本章开头所述，从现代物理角度看，所有物理相互作用均受“规范联络”的支配，其关键是依赖于其严格对称的各种空间。当然，我们还需要知道“规范理论”实际指的是什么，这些内容见第15章。