3.5 平面四杆机构的解析法设计
连杆机构的设计方法有图解法、解析法和试验法。解析法是按照给定的参数和机构类型，建立参数方程，并根据已知参数对方程式求解，从而确定机构的尺寸参数的方法。本节主要介绍解析法的设计方法。
3.5.1 按给定连杆位置设计四杆机构
图3.53所示铰链四杆机构，在机架上建立固定坐标系xOy。已知连杆平面上任意两点M、N，分别在该坐标系中的位置坐标为Mi（xMi，yMi）、Ni（xNi，yNi）（i=1，2，…，n）。又以M为原点在连杆上建立动坐标系x′My′。
图3.53 给定连杆位置解析法设计
设B、C两点在动坐标系中的位置坐标分别为B（x′B，y′B）、C（x′C，y′C），在固定坐标系中与Mi、Ni相对应的位置坐标分别为Bi（xBi，yBi）、Ci（xCi，yCi），则B、C两点分别在动坐标系与固定坐标系的变换关系为
式（3-45）和式（3-46）中φi为x轴正向至x′轴正向沿逆时针方向的夹角，且φi的表达式为
若固定铰链中心A、D在固定坐标系中的位置坐标为A（xA，yA）、D（xD，yD），在机构运动过程中两连架杆长度保持不变，可得
将式（3-45）代入式（3-48）并整理，得
式中
当A、D位置没有给定时，式（3-50）含有4个未知量x′B和y′B、xA和yA，共有n—1个方程，其有解的条件为n≤5，即四杆机构最多能精确实现连杆的5个给定位置。当n＜5时，可预先选定机构参数以获得唯一解。求出x′B、y′B，xA、yA，x′C、y′C，xD、yD未知量后，利用上述关系即可求得连杆、机架及两连架杆的长度。
当A、D位置预先给定，则四杆机构最多可精确实现连杆的三个预期位置。
3.5.2 按给定行程速比系数K设计四杆机构
若给定曲柄摇杆机构中摇杆CD的长度c、摆角ψ以及行程速比系数K，试设计此机构。
由行程速比系数K算出极位夹角θ并作外接圆η，如图3.54所示。圆η的半径为
图3.54 曲柄滑块机构
固定铰链中心A在圆η的两段圆弧上有无穷多个解，但不能选在劣弧段上，否则机构将不满足运动连续性要求。若再给定某些附加条件，则A点的位置就受到限制。不同的附加条件对应的各构件长度的求解方法也不相同。
如图3.54所示，若以β=∠AC1C2表示A点在圆η上的位置，并引入符号系数δ，即
（1）当
时，δ=+1；
（2）当
时，δ=—1。
对于θ＜90°，设曲柄AB的长度为a、连杆BC的长度为b，AD的长度为d，OD的长度为g，则有
由图可知，曲柄与连杆拉直共线和重叠共线的两个位置为
和
，则
若附加条件为给定机架AD的长度d，则由式（3-60）可求得角β，将其代入式（3-58）和式（3-59）可求得曲柄AB和连杆BC的长度a和b。又若附加条件为给定最小传动角γmin，则有
将式（3-58）～式（3-60）代入式（3-61），得未知量仅为β的方程：
采用数值方法求解式（3-62），便可确定最小传动角为给定值时的β及A点的位置。将β值代入式（3-58）～式（3-60），即可求得a、b、d。
3.5.3 给定两连架杆的对应位置设计四杆机构
1．铰链四杆机构
如图3.55所示的铰链四杆机构中，已知两连架杆AB和DC沿逆时针方向的对应角为φ1i和ψ1i（i=1，2，…，n），要求确定各构件的长度a、b、c、d。
图3.55 给定两连架杆的对应位置解析法设计
以A为原点、机架AD为x轴建立直角坐标系xAy，ABCD构成封闭向量多边形，封闭向量方程为
向量方程向x轴和y轴投影，则两连架杆AB和CD相对于x轴的位置角之间有如下关系：
两连架杆角位移的对应关系只与各构件的相对长度有关，因此以杆AB的长度为基准，并设
将式（3-65）代入式（3-64），得
将式（3-66）中的两式等号两边平方后相加并整理得
式中：
若两连架杆AB和DC第一位置线相对于x轴的夹角分别记为φ1和ψ1，则两连架杆第i个位置相对于x轴的夹角分别为φ1+φ1i和ψ1+ψ1i。将式（3-67）分别用于两连架杆的第1和第i位置，则有
式（3-69）中含有P0、P1、P2、φ1、ψ1 5个未知量，共有n个方程，其有解的条件为n＜5，即铰链四杆机构最多能精确实现两连架杆的4组对应角位移，即两连架杆5组对应角位置。
若φ1和ψ1预先给定，则铰链四杆机构最多能精确实现两连架杆的两组对应角位移，此时式（3-67）可写为
由式（3-70）中的三个线性方程组可解出P0、P1和P2，并将P0、P1和P2的值代入式（3-67），即得各构件的相对长度m、n、p，再根据实际需要选定构件AB的长度a后，其他构件的长度b、c、d即可确定。
2．曲柄滑块机构
图3.56所示的曲柄滑块机构中，已知曲柄与滑块的三个对应位置φ1、xC1，φ2、xC2，φ3、xC3，试设计此曲柄滑块机构。
图3.56 解析法设计曲柄滑块机构
设曲柄AB、连杆BC的长度分别为a、b，偏距为e。建立坐标系xAy。各构件长度在坐标轴x、y上投影得
化简式（3-71）得
令
则式（3-72）可写成
将曲柄与滑块的三个对应位置φ1、xC1，φ2、xC2，φ3、xC3，代入式（3-74），得
解此方程式，求解出R1、R2、R3，再由式（3-73）即可确定曲柄AB的长度a、连杆BC的长度b、偏距e，分别如下：
