第2章　数列极限

一、判断题

1．单调序列中有一个子序列收敛，则收敛．（　　）[武汉大学研]

【答案】对

【解析】不妨设单增，即又设则

　 　　　　　

可证：用反证法，若．那么

这与①式矛盾，因此单调递增有上界a，从而有极限，即证收敛．

事实上还可证时，有

再由，对上述ε，存在N₂，当时有

再令，当n>N时

2．序列的子序列和收敛，则收敛．（　　）[武汉大学研]

【答案】错

【解析】举反例：数列，和都收敛，但不收敛．

3．序列收敛，则序列收敛，其逆命题也成立．（　　）[武汉大学研]

【答案】错

【解析】举反例：收敛，但不收敛．

4．收敛，则．（　  ）[武汉大学研]

【答案】错

【解析】举反例：收敛，但

5．函数序列，满足对任意自然数p及，有

，则一致收敛．（　　）[武汉大学研]

【答案】错

【解析】比如在上满足条件，但在[0，1]上不一致收敛．

二、解答题

1．用极限定义证明，当a>1时，，并讨论当0＜a≤1时，极限是否存在。如果存在，极限是多少。[上海理工大学研]

证明：当a>1时，令，则。由

得

对于任意给定的ε>0，取，则当n>N时，就有，即，所以

当0＜a＜1时，；当a＝1时，

2．叙述发散的定义，证明{cosn}，{sinn}发散。[大连理工大学研、武汉大学2006研]

证明：设不以a为极限。存在，对任意的N，有，使得，下证{sinn}不收敛。

存在，对任意的N，有，则有

所以。（柯西（Cauchy）收敛准则）

3．证明：若数列无上界，则必有严格单调增加且趋于＋∞的子列。[上海理工大学研]

证明：因为数列无上界，所以存在。同样因为数列无上界，所以存在。依次类推，可得到的子列满足显然是的严格单调增加且趋于＋∞的子列。

4．设定义

证明：

（1）（2）[四川大学、天津大学研]

证明：（1），由L’Hospital法则

 

（2）当x→＋∞时，令则由两边夹法则可知：

5．设求极限[华中科技大学研]

解：令则。利用Cauchy中值定理可得

此处应用了和，因为而所以

6．设0＜c＜1．，，证明：收敛，并求其极限．[武汉大学、华中师范大学研]

证明：

方法一：用数学归纳法可以证明

事实上，假设，则

令

　 ①

其中ε介于与之间，由于0＜c＜1，再由①式可知为压缩数列，故收敛，设

由于

方法二：先用数学归纳法可证

  ②

再用数学归纳证明

　  ③

显然，归纳假设，则

从而③成立．

由②，③知单调递增有上界，，．注意到l＜1，

7．证明：为递减数列；[华东师范大学研]

证明：

证法一：（1）设

为递减数列．

（2）由严格增且，故，再由严格减且

故

即

取对数

于是

证法二：（1）因为

①

再由①式知

为递减数列．

（2）由于

故

  ②

　 ③

由②，③即证