海伦公式

亚历山大时代的海伦是希腊非常重要的一名数学家，他在其他著作里评论过《几何原本》，但这些作品后来都失传了。1896年，他的著作《共制》被发现，他在书中陈述道：一个三角形的面积是s（s-a）（s-b）（s-c）的平方根，这里a＝BC，b＝AC，c＝AB，皆为三角形的边，s是周长的一半（a＋b＋c）/2。这一公式被后人称为“海伦公式”。阿基米德或许知道这一公式，但没有确定的证据。海伦完成了这个公式的证明。这里，我们来看看内切圆的前面部分。

设：D是三角形ABC的内切圆的圆心，DE、DF、DG垂直于边（如欧几里得的证明）。这三条线段是圆的半径，长度为r。

三角形ABD有第三边AB和高r。所以，它的面积是r·AB/2。

同样，三角形BCD的面积是r·BC/2，三角形CDA的面积是r·CA/2，把它们加在一起，可以发现三角形ABC的面积是r（AB＋BC＋CA）/2。

所以：三角形ABC面积＝rs。

这是个有趣的结论。

现在不管海伦的证明，来看看外切圆。

设：A′是A点的内角等分线上的外切圆圆心。从A′引垂线A′E′、A′F′、A′G′，垂直于三角形的边。它们是外切圆的半径rA。

三角形ABA′、有第三边AB和高A′E′，所以，它的面积是rA·AB/2。

同样，三角形BCA′的面积是rA·BC/2，三角形CAA′的面积是rA·AC/2。

三角形ABC的面积是三角形ABA′与ACA′之和减去三角形BCA′的差。

所以，它的面积是rA（AB＋AC-BC）/2，即rA（s-a）。

所以：三角形ABC的面积＝rs＝rA（s-a）＝rB（s-b）＝rC（s-c）。

也可以表示为：

证完