命题IV.7

给定一个圆可作一个外切正方形。

设：给定的圆为ABCD。

现在要求的是：作圆ABCD的外切正方形。

令：作圆ABCD的两条直径AC和BD，并相互垂直。过A、B、C、D各点作FG、GH、HK和KF与圆相切（命题III.1、III.11，推论II.16）。

那么因为：FG与圆ABCD相切，EA是从圆心E到切点A的连线。

所以：A点的角为直角（命题III.18）。同样原因：B点和C点、D点的角也是直角。

那么因为∠AEB是直角，∠EBG也是直角。所以：GH平行于AC（命题I.28）。

同样原因，AC也平行于FK，所以：GH也平行于FK（命题I.30）。

同样，可以证明出线段GF、HK也平行于BED。

于是：GK、GC、AK、FB和BK也是平行四边形。所以：GF等于HK，GH也等于FK（命题I.34）。

又因为：AC等于BD，AC也等于线段GH、FK，而BD等于GF、HK。

所以：四边形FGHK是等边的（命题I.34）。

进一步说明：它们也是直角。

因为GBEA是平行四边形，∠AEB是直角。所以：∠AGB也是直角（命题I.34）。

同样，也可以证明出在H、K和F点上的角为直角。所以：FGHK是矩形。

而它又被证明是等边的，所以：它是正方形。且外切于圆ABCD。

所以：给定一个圆可作它的外切正方形。

证完

注解

这一命题应用在命题XII.10中。