2.4 最小势能原理

对于任何一个弹性结构，当有外力作用以后，必然会发生弹性变形，在这一变形过程中，结构会积蓄弹性势能，而作用其上的外力势能也会发生变化。根据能量原理可知，当该结构的能量最小时，它会达到稳定的平衡状态。

1. 最小势能原理

对于任何弹性结构，若其总势能表达为弹性位移（位移函数），则当它处于稳定平衡状态时，其总势能必取极小值。

总势能的计算包括弹性势能（以应变能形式表示）和外力势能两部分，对于不同的结构有不同的表达式。

2. 一般弹性体的总势能

图2-8所示的一般体，其一部分边界为B₁固定，其余的边界为B₂自由；其体积力为q=（q_xq_yq_z）^T，在自由边界作用有分布力p=（p_xp_yp_z）^T，。设其外力势能为Π₁，弹性势能为Π₂。

外力势能：

由式（2-18）得弹性势能：

总势能Π=Π₁+Π₂，即

3. 最小势能原理的数学表达式

由最小势能原理可知，弹性体受力以后，其总势能Π就是其位移函数v或δ的泛函，而其平衡位置就是使Π取极小值的位置。因而最小势能原理的数学表达式为