塑料排水板修复污染土体一维对流—扩散—解吸附模型及其解析解

王恒宇

唐晓武

牛犇

甘鹏路

基金项目:国家自然科学基金项目（51179168）

1 引言

土壤是人类赖以生存的物质基础，长期以来人类工业活动诸如冶金、陶瓷业、干电池、印染等对土壤造成了不同程度的污染，给城市生态环境和人体健康带来了风险。中国受污染的耕地面积近2000万hm²，约占总耕地面积的1/5。因此污染土壤修复技术的研究逐渐成为当前的研究热点。传统的井点泵洗法在修复砂土等粗颗粒受污染土壤时是有显著效果的，然而在修复粉土、黏性土等低渗透性土体时，由于淋洗液渗流速度过慢，水头损失严重等原因，致使修复效果不理想。

塑料排水板被广泛用于软基中加速土体固结，Gabr利用塑料排水板可以有效缩短排水路径的特点，将塑料排水板引入到低渗透性污染土体的修复中，现场试验证明采用塑料排水板淋洗粉土、粉质黏土等低渗透性污染土体时是卓有成效的。图1所示为塑料排水板淋洗土体示意图。在这个系统中，塑料排水板分为注入排水板和提取排水板，通过压力泵将淋洗液注入土体当中，然后通过真空泵将淋洗液回收。塑料排水板之间的间隔一般在1m左右，较短的排水路径使得污染土体能够得到有效的淋洗，真空泵和压力泵的引入将排水板中水头维持在一个稳定的数值。

对于采用塑料排水板修复土体问题的研究可采用有限差分法、有限单元法等数值方法，也可以采用解析方法。相对数值方法，解析解具有物理意义明确、计算简单、无截断误差的优点。Gabr给出了排水板成轴对称分布情况下淋洗土体的对流—扩散解，但在现场修复的过程中，排水板通常是呈网格排列的，如图2所示，目前相关文献中还没有针对排水板呈网格状排列淋洗土体的解析求解。

本文考虑对流，扩散和线性解吸附，针对排水板呈网格状排列的工况，引入Neumann边界，建立了采用塑料排水板淋洗修复污染土体的一维对流—扩散—解吸附模型，并与数值软件的结果进行了对比。本文解可为排水板修复污染土体的设计提供参考，用于试验数据拟合、复杂数值模型的初步验证。

2 数学模型及求解

2.1 基本假定及控制方程

在塑料排水板加速软土地基固结的研究中，陈小丹将塑料排水板简化成排水砂墙，将复杂的三维模型转化为二维平面应变模型求解。笔者将此思路引入到本文的求解过程中，在单位时间内淋洗液注入量等效的前提下，合理地将塑料排水板简化成排水砂墙，并认为除了排水板附近以外的区域，采用简化模型求得的解析解足够精确，注入排水板或提取排水板的布置间距越小，得到的解析解越精确。

建立塑料排水板淋洗修复污染土体的一维对流—扩散—解吸附模型，如图3所示。并假定：①土体为均匀土体，在淋洗过程中，土体密实度和孔隙比不发生改变；②渗流遵循Darcy定律，排水板中水头保持不变，渗流场为一维水平向稳态流场，即渗流只存在于x方向，在z方向上不存在渗流；③淋洗液的注入速度等于其提取速度，土体保持饱和状态；④土体对污染物的解吸附为等温线性解吸附。运移控制方程为

式中 C（x，t）——浓度场；

x——空间坐标；

t——时间坐标；

n——土体孔隙率；

D_x——水平向水动力弥散系数；

q_x——水平向渗流速度；

R_d——解吸附阻滞因子。

根据假设2，水平向渗流速度为

式中 H——污染土层厚度；

——单位时间内单位长度排水砂墙淋洗液注入量。

值可由式（3）求得

式中 D——相邻注入或提取排水板间距；

Q₀——单位时间内单个排水板淋洗液注入量。

考虑等温线性解吸附

式中 ρ_d——土体干密度；

K_d——平衡分配系数。

水动力弥散系数是同时考虑分子扩散和机械弥散的综合参数，其数学表达式为

式中 D^*——分子扩散系数；

——机械弥散系数；

α_x——水平向弥散度。

2.2 定解条件及模型的求解

假设计算区域内污染物初始浓度为常量C₀，则模型的初始条件为

注入砂墙内污染物浓度始终为0，则左边界条件为

提取砂墙和污染土体的界面处必须满足浓度连续条件及物质通量连续条件，分别如下式所示

式中 C_e（x，t）——提取砂墙内浓度场；

D_e——提取砂墙内水动力弥散系数；

L——注入砂墙和提取砂墙的间距。

假设提取砂墙内淋洗液混合比较均匀，即式（9）中∂C_e（x，t）/∂x项为0，由式（8）、式（9），可得

式（10）即为右边界条件，为Neumann边界。

引入变换式

将原问题转换成关于W（x，t）的问题，控制方程和相关条件转换如下：

W（x，t）的解为

代入变换式（11），可得

式（15）即为本文所求塑料排水板淋洗修复污染土体的一维对流—扩散—解吸附浓度解，式（14）、式（15）中待定系数c_i为

特征值λ_i为下列超越方程的正根

3 与数值解比较

基于上述求解得到的解析解，采用MATLAB软件编制程序，对一个算例进行分析。土体污染物初始浓度为100mg/L，土体参数取自Gabr的论文，相关参数列于表1。

图4给出了淋洗20h、50h后污染土体剖面不同位置处的污染物残余浓度，曲线显示了随着淋洗的进行，土体中污染物浓度逐渐降低。为了验证本文解析解的正确性及精度，将数值软件Geostudio 2007模拟的结果与本文计算的结果进行对比，如图4所示，两者结果吻合情况较好，验证了本文解析解的正确性。

4 参数分析

在塑料排水板修复污染土体系统中，注入/提取淋洗液速率以及排水板设置间距是改善其修复速率的关键参数。土体污染物初始浓度为100mg/L，土体参数取自Gabr的论文，相关参数列于表2。利用本文得到的解析解计算污染土体中心区域，即L/2处污染物浓度随时间变化曲线，如图5、图6所示。

其中算例1包括三个工况，各工况的参数，除了淋洗液注入/提取速率不同外，其余均相同。以土体中污染物残余浓度降为初始浓度的1%的时刻定义淋洗结束时间。如图5所示，若淋洗液注入速率为0.002m³/h，则淋洗需要2000h，若淋洗液注入速率提升为0.02m³/h，则淋洗结束时间为200h，若增加淋洗液注入速率至0.2m³/h，则淋洗时间缩至20h。由此可见，提高淋洗液注入速率可以有效减少淋洗所需要时间，同时淋洗所需要时间随淋洗液注入速率增加线性减少。

图6所示，算例2包括三个工况，各工况的参数，除了注入排水板和提取排水板的间距不同外，其余均相同。淋洗所需时间随排水板间距的增大而延长，当排水板设置间距为5m、2m、1m时对应的淋洗结束时间分别为1459h、573h、201h。因此采用较密的排水板布置方式对提高淋洗速率效果显著。

5 结论

本文针对排水板呈网格状排列的工况，引入Neumann边界，建立了采用塑料排水板淋洗污染土体的一维对流—扩散—解吸附模型，主要得出结论如下：

（1）本文提出的解析解考虑对流、扩散和解析附，采用本文解析解得到的结果和数值软件模拟结果吻合情况较好，验证了本文解析解的正确性。

（2）参数分析表明，提高淋洗液注入/提取速率或者缩短注入/提取排水板设置间距可以有效降低淋洗所需时间，提升淋洗速率。

参考文献

［1］顾继光，周启星，王新.土壤重金属污染的治理途径及其研究进展［J］.应用基础与工程科学学报，2003，11（2）：143-151.

［2］BARTOW G，DAVENPORT C.Pump-and-treat accomplishments：A review of the effectiveness of ground water remediation in Santa Clara Valley，California［J］.Ground Water Monitoring and Remediation，1995，Spring issue：140-146.

［3］HALEY J，HANSON B，ENFIELD C，et al.Evaluating the effectiveness of ground water extraction systems［J］.Ground Water Monitoring and Remediation，1991，2（1）：119-124.

［4］GABR M A，WANG J，BOWDERS J J.Model for efficiency of soil flushing using PVD-enhanced system［J］.Journal of Geotechnical Engineering，1996，122（11）：914-919.

［5］GABR M A，BOWDERS J J，WANG J，et al.In situ soil flushing using prefabricated vertical drains［J］.Canadian Geotechnical Journal，1996，33（1）：97-105.

［6］SHARMIN N，KUNBERGER T，GABR M A，et al.Performance modeling and optimization of contaminant extraction using prefabricated vertical wells（PVWs）［J］，Geosynthetics International，2008，15（3）：205-215.

［7］WARREN K A，GABR M A，QUARANTA J D，et al.Field study to investigate WIDE technology for TCE extraction［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2006，132（9）：1111-1120.

［8］郑颖人，陆新.强夯加固软黏土地基的理论与工艺研究［J］.岩土工程学报，2000，22（1）：18-22.

［9］赵维炳，雷国辉，陈永辉.土工织物加筋与塑料板排水联合加固软基的计算方法研究［J］.岩土工程学报，1998，20（3）：61：65.

［10］陈小丹，赵维炳.考虑井阻和涂抹的砂井地基平面应变等效方法分析［J］.岩土力学，2005，26（4）：567-571.