任务五 作用于曲面壁上的静水总压力
一、静水总压力的两个分力
水工建筑物中常碰到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、弧形闸墩、弧形闸墩及边墩等。因曲面壁上各点静水压强的方向互不平行［图2－17（d）］，则平面壁上求各力代数和确定总压力的方法不再适用。为便于计算，可根据《工程力学》中力的分解和合成原理，先分别计算水平方向和铅垂方向的分力，再根据求合力的原则，求出静水总压力。
工程中常见的曲面壁多为二向曲面（柱面），现以弧形闸门为例，讨论二向曲面壁静水总压力的计算问题。
取图2－21（a）中弧形闸门下部水体为脱离体，其剖面图如图2－21（b）所示。从图2－21（c）可看出，所取脱离体是以截面ABC为底，高为闸门宽度b的水体，其侧面为铅垂平面（AC），底面为水平面（BC）。脱离体受力分析如图2－21（b）所示，图中，P′为闸门对水体的反作用力，与闸门所受静水总压力P等值反向；P′x、P′z为P′的水平分力和铅直分力；PAC、PBC为作用在AC、BC面上的静水总压力；G为脱离体水重。
图2－21
（一）静水总压力的水平分力
根据受力分析，列水平方向的平衡方程得
根据作用力与反作用力大小相等、方向相反的原理，闸门所受水平力为
因AC为曲面的铅直投影面，则由式（2－25）可知，曲面壁上静水总压力的水平分力等于铅直投影面上受到的静水总压力。又因AB的铅直投影面AC为矩形平面［图2－21（c）］，因此求弧形闸门静水总压力的水平分力就归结为求矩形平面壁上静水总压力的问题。
（二）静水总压力的铅直分力
图2－21（b）中脱离体铅直方向的平衡方程式为
由于BC是淹没深度为h2的水平面，其上各点压强都等于γh2，若以ABC表示其面积，则有
脱离体的重量等于其体积乘以水的重度，即
由图2－21（c）可知，压力体由顶面、底面和侧面组成，顶面为水面或水面的延展面，底面为曲面本身，侧面为曲面边线向水面作的铅直面。压力体体积用V体表示，棱柱体底面MABN称为压力体剖面，其面积以A剖表示，则
由式（2－26）可知，求解的关键在于正确求出A剖，而求A剖的关键又在于正确绘出压力体剖面图。
（三）压力体剖面图的绘制
简单曲面的压力体剖面图由四条边［图2－21（c）］或三条边（水面与曲面顶部齐平时）围成，复杂曲面壁（凹凸方向不同）的压力体剖面图由简单的压力体剖面图合并而成。简单曲面的压力体剖面图绘制方法如下：
（1）画出曲面本身（一般忽略壁面厚度，只画一条弧线，简称“本身”）。
（2）由弧线两端点向水面线或其延长线作铅垂线（简称“垂线”）。
（3）用水面线或其延长线封闭图形，简称“封闭”。
（4）在封闭图形内用一组带箭头的相互平行的铅直线表示Pz的大小和方向。曲面上部有水，Pz方向向下；曲面下部有水，Pz方向向上；曲面上、下部有水时，应分开绘制后将图形合并，根据合并结果确定Pz的方向。
对于复杂曲面，可在曲面与铅垂面相切处将曲面分成几部分，各部分按简单曲面分别绘制后，再将图形重合而方向相反的部分抵消，所剩图形即为压力体剖面图。
二、曲面壁上的静水总压力
求得水平分力Px和铅直分力Pz后，按力的合成法则，作用在曲面上的静水总压力P为
由图2－21（a）可知，总压力的方向指向曲面的内法线方向，其作用线与水平线的夹角为
总压力的作用点即总压力作用线与曲面的交点D，D点位于曲面的纵向对称轴上，其在铅垂方向的位置以该点至受压面曲率中心的铅垂距离zD表示，由图2－21（a）知
图2－22
【例2－13】 试绘制图2－22中各曲面壁上的压力体剖面图。【例2－14】 某溢流坝上弧形闸门如图2－23所示。已知闸门宽度b＝8m，圆弧半径R＝6m，闸门轴心O（圆心）与水面齐平，圆心角为45°。求作用在闸门上的静水总压力。
图2－23
【解】 闸前水深
h＝Rsin45°＝6sin45°＝4．24（m）水平分力
铅直分力等于压力体ABC内的水重。压力体ABC的体积等于扇形AOB的面积减去三角形BOC的面积乘以宽度b。
【例2－15】 如图2－24所示，输水钢管某管段内压强为p，假设管壁各处受压均匀（各点压强均为p），管径为D，若管壁允许拉应力为［σ］，求管壁厚度δ至少应为多少？（不考虑管道自重和水重产生的应力）
图2－24
【解】 取单位长度管段，从直径方向剖开，设该剖面上管壁所受拉力为2T，则
由曲面壁静水总压力的水平分力计算公式可知，单位长度管段上管壁所受静水总压力的水平分力为
由图2－24可知，管壁所受静水总压力的水平分力应等于管壁所能承受的拉力，即
