（1）有效数字的定义及位数

有效数字是测量过程中实际能够测到的数字，其组成为：所有确定数字 + 一位估计数。有效数字的最后一位可疑数字，通常理解为它可能有±1个单位的绝对误差。它反映了随机误差。

例如：读取滴定管上的刻度，甲得到23.43mL，乙得到23.42mL，丙得到23.44mL，这些四位数字中，前三位数字都是很准确的，第四位数字是估计出来的，所以稍有差别。这第四位数字称为可疑数字，但它不是臆造的，所以记录时应该保留它。

由于有效数字位数与测量仪器精度有关，实验数据中任何一个数都是有意义的，数据的位数不能随意增加或减少，如在分析天平称量某物质为0.2501g（分析天平感量为±0.1mg），不能记录为0.25010g。50mL滴定管读数应保留小数后两位，如28.30mL不能记为28.3mL。现通过以下几个例子，说明如何计算有效数字的位数。

在以上数字中，“0”所起的作用是不同的。在小数点前的“0”只起定位作用，仅与所采用的单位有关，而与测量的精度无关，因此，就不是有效数字。而最后一位的“0”则表示测量精度所能达到的位数，因而是有效数字，不可随意略去。

有效数字的位数不能也不会因为单位的改变而增减。因为不管单位如何改变，测量的精度是一样的。如1.0L是两位有效数字，不能写成1000mL，应写成1.0×10³mL，仍然是两位有效数字。

在分析化学计算中，常遇到倍数、分数关系。这些数据不是测量所得到的，可视为无限多位有效数字。而对pH、pM、lgC、lgK等对数值，其有效数字的位数，按照“对数的位数与真值的有效数字位数相等，对数的首数相当于真值的指数”的原则来定。例如 [H⁺] = 6.3 × 10⁻¹² mol·L⁻¹，两位有效数字，所以pH = 11.20，不能写成pH = 11.2。

注意：小数点后位数的多少反映了测量绝对误差的大小。小数点后有1位，绝对误差为±0.1；小数点后有2位，绝对误差为 ±0.01。小数点后具有相同位数的数字，其绝对误差的大小也相同，而与有效数字的位数无关。如5.0、50.0和500.0，其绝对误差均为 ±0.1。而有效数字位数的多少反映了测量相对误差的大小。具有相同有效数字位数的测量值，其相对误差的大小处于同一水平上（即同一误差范围）。如表2.3所示。

表2.3　有效数字位数与误差的关系

（2）有效数字的修约规则

测量数据的计算结果要按照有效数字的计算规则保留适当位数的数字，因此必须舍弃多余的数字，这一过程称为“数字的修约”。目前，有效数字的修约一般采用“四舍六入五留双，五后非零需进一”的规则❺。

“四舍六入五留双，五后非零需进一”的规则规定：

① 在拟舍弃的数字中，右边第一个数字≤4时舍弃，右边第一个数字≥6时进1。例如，欲将15.3432修约为三位有效数字，则从第4位开始的“432”就是拟舍弃的数字，“3”右边的“4”等于4，因此修约为15.3。又例如，15.3632→15.4。

② 拟舍弃的数字为5，且5后无数字时，拟保留的末位数字若为奇数，则舍5后进1；若为偶数（包括0），则舍5后不进位。例如，15.35→15.4；15.45→15.4。

③ 若 5 后有数字，则拟保留的数字无论奇、偶数均进位。例如，15.3510→15.4；15.4510→15.5。

例2.5　请将下列数字修约为四位有效数字。

修约如下：

14.2442→14.24

26.4863→26.49

15.0250→15.02

15.0151→15.02

15.0251→15.03

需要指出的是，修约数字时要一次修约到所需要的位数，不能连续多次修约，例如，2.3457修约到两位，应为2.3；如果连续修约则为2.3457→2.346→2.35→2.4，这就不对了。

（1）加减法

几个数相加或相减时，其和或差的小数点后位数应与参加运算的数字中小数点后位数最少的那个数字相同。即：运算结果的有效数字的位数取决于这些数字中绝对误差最大者。如：

0.0121+25.64+1.05782 = ？

其中，25.64的绝对误差为±0.01，是最大者（按最后一位数位可疑数字），故按小数点后保留两位报结果为：

0.0121+25.64+1.05782 = 0.01+25.64+1.06 = 26.71

（2）乘除法

几个数相乘或相除时，其积或商的有效数字位数应与参与运算的数字中有效数字位数最少的那个数字相同。也就是说，运算结果的有效数字的位数取决于这些数字中相对误差最大者。

例如：0.0121×25.64×1.05782=？

式中，0.0121的相对误差最大，其有效数字的位数最少，只有三位。故应以它为标准将其他各数修约为三位有效数字，所得计算结果的有效数字也应保留三位。

0.0121×25.64×1.05782 = 0.328

运算时，先修约再运算，或最后再修约，两种情况下得到的结果有时不一样。为避免出现此情况，既提高运算速度，而又不使修约误差积累，可在运算过程中，将参与运算的各数的有效数字位数修约到比该数应有的有效数字位数多一位（这多取的数字称为安全数字），然后再进行计算。

例如：=？

先修约再运算，即：

运算后再修约，结果为：= 0.07125590→0.0713

两者不完全一样，如采用安全数字，本例中各数取四位有效数字，最后结果修约到三位，即：

这是目前大家常采用的，使用安全数字的方法。

在使用计算器作连续运算时，过程中不必对每一步的计算结果进行修约，但应注意根据其准确度要求，正确保留最后结果的有效数字位数。

无论是加减还是乘除运算，都要遵循一个共同的原则，即计算结果的精度取决于测量精度最差的那个原始数据的精度。但加减法是从绝对误差出发，因而是以绝对误差最大即小数点后位数最少的那个原始数据为基准来表示计算结果的精度的；而乘除法则是从相对误差出发，因而是以相对误差最大即有效数字位数最少的那个原始数据为基准来表示计算结果的精度的。